题目:
思想:
可以使用动态规划降低时间复杂度。我们用 dp(i,j) 表示以 (i,j) 为右下角,且只包含 1 的正方形的边长最大值。如果我们能计算出所有 dp(i,j) 的值,那么其中的最大值即为矩阵中只包含 1 的正方形的边长最大值,其平方即为最大正方形的面积。
那么如何计算 dp 中的每个元素值呢?对于每个位置 (i,j),检查在矩阵中该位置的值:
如果该位置的值是 0,则 dp(i,j)=0,因为当前位置不可能在由 1 组成的正方形中;
如果该位置的值是 1,则 dp(i,j) 的值由其上方、左方和左上方的三个相邻位置的 dp 值决定。具体而言,当前位置的元素值等于三个相邻位置的元素中的最小值加 1,状态转移方程如下:
dp(i,j)=min(dp(i−1,j),dp(i−1,j−1),dp(i,j−1))+1
此外,还需要考虑边界条件。如果 i 和 j 中至少有一个为 0,则以位置(i,j) 为右下角的最大正方形的边长只能是 1,因此 dp(i,j)=1
代码:
1 | package main |